Função de Autocorrelação: a sazonalidade das exportações de soja | R

I — Resumo

Meu último texto aqui no blog [1], abriu a possibilidade de passear aleatoriamente por vários tópicos de séries temporais. Seguindo esse tal texto, vou procurar trabalhar a função de autocorrelação. É bem easy matematicamente, mas com uma riqueza de informação incrível. Assim, diga-se de passagem, daqui em diante continuo com a mesma base de dados do texto anterior. Partindo do final, como uma parte II, digamos.

II — Primeiro bloco: Correlação e Autocorrelação

Intuitivamente e de forma bem sugestiva, autocorrelação é definida como a correlação de uma dada variável consigo mesmo em diferentes intervalos de tempo. Bem, compreendendo a noção de correlação, basta adicionar a noção de defasagem para chegar nessa conceituação de autocorrelação. Como já escrevi aqui no blog [2], correlação é uma forma padronizada de covariância. Matematicamente, é a covariância dividido pela raiz quadrada da variância (desvio padrão). Assim, encontra-se a relação de associação linear que varia de 1 a -1 entre as variáveis. Dado uma relação bivariada entre x e y, por exemplo:

No qual x e y barra representam suas respectivas médias. O r de Pearson ou correlação de Pearson retorna a força de associação linear entre as variáveis ou, como gosto de dizer, a relação direcional entre as variáveis. Implicitamente, pressupõe linearidade entre as variáveis e distribuição Gaussiana. E não, não: correlação não representa dependência entre as variáveis e muito menos causalidade. É factível a existência de correlação nula entre variáveis que sejam dependentes; assim como, é factível forte correlação sem qualquer relação causal (DANTAS, 2008; Figueiredo Filho & Silva Júnior, 2009). Podemos compactar aquela notação ali entre covariância e desvio padrão como mencionado:

ou

Por outro lado, autocorrelação vai além. Com grande destaque em séries temporais, seja em em diagnóstico dos resíduos, seja como base para determinação do modelo ou em análise exploratória do comportamento da série. Como exposto por Costa (2019), o coeficiente de correlação entre x e x no período passado (isto é, defasado em t-1) é denominado de autocorrelação de k-ésima ordem:

Um conjunto de autocorrelações rk formam um função de autocorrelação de xt. Autocorrelação segue de perto a correlação enunciada anteriormente, porém correlacionando a série com ela mesmo num dado período de defasagem (de forma bem hegeliana e jocosa, é a correlação de si-e-para-si). Assim, a autocorrelação amostral de k-ésima ordem de xt pode ser definida como:

O qual pode ser visualizada em um correlograma. Por princípio:

Uma autocorrelação de primeira ordem (t-1) representa uma correlação com o período anterior (como, por exemplo, o PIB do terceiro trimestre com o segundo trimestre);

Uma autocorrelação de segunda ordem (t-2) representa uma correlação com 2 unidades de tempo passado;

E assim sucessivamente.

III — ACF: Função de Autocorrelação

Indo, agora, direto para exemplificação aplico um correlograma que retorna a função ACF (função de autocorrelação). Escolhi de forma bem arbitrária 48 defasagens — lags. Ou seja, 48 meses ou 4 anos.

Bem, vamos devagar: o eixo y representa as correlações, ou melhor dizendo, as autocorrelações; por sua vez, o eixo x representa as defasagens. Cada linha vermelha, nesse caso, representa um mês. Por outro lado, a linha azul tracejada representa onde é significativamente diferente de zero. Em primeiro, como vários meses retornaram autocorrelações fora da linha tracejada, há autocorrelação diferente de zero. Indicando autocorrelação na série das exportações de soja. Em segundo, como esperado há um padrão nas autocorrelações que flutuam entre correlações positivas e negativas dentro da sazonalidade já levantada no texto anterior. Concluindo, vou pegar apenas 12 lags para uma visualização compactada:

Lembre do texto anterior, o último período disponível era o mês de setembro (de 2021). Indicando queda nas exportações de janeiro, fevereiro até um aumento abrupto de março a maio. Começando um decaimento no mês de junho-julho. Decaimento consistente com duração até em março novamente. Pois bem, pensa num padrão de sazonalidade bonito!!

Referência Bibliográfica

DANTAS, C. Probabilidade: um curso introdutório. Ed.USP, 2008.

Figueiredo Filho & Silva Júnior. Desvendando os Mistérios do Coeficiente de Correlação de Pearson (r). Revista Política Hoje, Vol. 18, n. 1, 2009.