Devaneios em um dia ensolarado: de 1/2 para uma distribuição Gaussiana
I — Resumo
Há tempo não publico meus devaneios por aqui. Pois bem, quebrando esse longo hiato, hoje busco apresentar duas simulações bem interessantes e simples com o básico de teoria da probabilidade. Como de costume, todo o código desenvolvido ao longo do texto encontra-se disponível no meu github[1].
II— Introdução
Dentro de um espaço amostral equiprovável, no qual há o lançamento de uma moeda justa, espera-se, de acordo com a interpretação frequentista, encontrar a proporção entre as faces de uma moeda em 1/2, isto é, em 50%. Assim, pode-se definir como Ω = {Cara, Coroa}. Traduzindo o linguagem estatístico: há duas faces em uma moeda, ao fazer um lançamento, espera-se 50% chances de cair cara ou coroa. Por óbvio, podemos fazer 3 lançamentos sucessivos sem encontrar tal proporção. Não obstante, a Lei dos Grandes Números justifica a convergência para 50% com o aumento dos lançamentos (Morgado & Teixeira[2], 2011).
Bem, podemos verificar computacionalmente. Tome a seguinte estrutura:
1. Lance aleatoriamente uma moeda
2. Compute a proporção gerada entre as faces (no primeiro lançamento, obrigatoriamente, encontra-se 100% para uma das faces)
3. Lance sucessivamente duas moedas de forma aleatória
4. Compute a proporção gerada no passo 3
5. Repita a estrutura sucessivamente aumentando o número de lançamentos
A aplicação dessa simples estrutura pode ser visualizada nos dois plotes a seguir. Aplicando até 100 e até 1000 lançamentos, respectivamente. Como esperado, há uma clara convergência das proporções para 50%.
III — De 1/2 para uma distribuição Gaussiana
Há um teorema fundamental no universo dos métodos quantitativos. O qual pode ser expresso sem muito formalismo como segue:
[Teorema Central do limite]
Seja X1, X2,…,Xn uma amostra aleatória simples de uma população X tal que E(X) = μ e V ar(X) = σ². Então, a distribuição de X converge para a distribuição normal com média μ e variância σ²/n quando n → ∞. Equivalentemente:
Pensando nos resultados obtidos anteriormente, e com base no teorema exposto, resolvi testar outra hipótese dado a estrutura de lançamentos e convergência para 50%. A estrutura de simulação é simples:
1. Lace sucessivamente 100 moedas
2. Compute a média obtida nas proporções (a média de cara e coroa)
3. Repita 1000 vezes o passo 1 e 2
Sem muito esforço computacional, encontra-se a convergência da média das proporções para uma distribuição Gaussiana (doravante, distribuição normal). No histograma fica evidente. E aplicando o teste de Shapiro-Wilk, visualizamos a rejeição da hipótese de não-normalidade (p-valor > 0.05).
Referência Bibliográfica
Farias, A. Inferência Estatística. UFF, 2008.
Teixeira, R.; Morgado, A. Introdução à Teoria da Probabilidade, 2011.
